{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "c12e30ea", "metadata": {}, "source": [ "# Aproximace funkcí" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d6464ffc", "metadata": {}, "source": [ "Naimportujeme si knihovny potřebné pro následující příklady:" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "id": "9479552b", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import matplotlib.pyplot as plt" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9eb351a6", "metadata": {}, "source": [ "## Typy aproximací:\n", "* Interpolační \n", "* Čebyševovy\n", "* Aproximace metodou nejmenších čtverců" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6b299f80", "metadata": {}, "source": [ "## Interpolační aproximace" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8ab9b329", "metadata": {}, "source": [ "* Máme zadané diskrétní funkční hodnoty nějaké funkce $f(x)$ v bodech $x_{0},\\dots ,x_{n}$.\n", "* Hledáme interpolační funkci, která má v zadaných bodech $x_{0},\\dots ,x_{n}$ stejné hodnoty jako funkce $f(x)$.\n", " * Globální interpolace\n", " * V celém intervalu jsou koeficienty interpolační funkce stejné\n", " * Např. Lagrangeův, Newtonův interpolační polynom\n", " * Lokální interpolace\n", " * V každém podintervalu má interpolační funkce různé koeficienty\n", " * Např. spline" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b5063be0", "metadata": {}, "source": [ "### Lagrangeův interpolační polynom (globální interpolace )\n", "* [Konstrukce Lagrangeova interpolačního polynomu](http://pascal.fjfi.cvut.cz/~vachal/edu/nme/cviceni/03_aprox/DOCS/priklad_Lagrangeova_interpolace.pdf) řádu $n$:\n", " * Známe $n+1$ bodů $x_{0},\\dots ,x_{n}$ a jim odpovídající funkční hodnoty $y_{0}=f(x_{0}),\\dots ,y_{n}=f(x_{n})$ \n", "$$\n", "L_{n}(x)=\\sum_{i=0}^{n}y_{i}F_{i}(x),\n", "$$\n", "přičemž $L_{n}(x_{0})=y_{0},\\dots,L_{n}(x_{n})=y_{n},$\n", "$$\n", "F_{i}(x) = \\dfrac{x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}\\dots\\dfrac{x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}\\dfrac{x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}\\dots\\dfrac{x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}=\\prod_{j = 0,j \\neq i}^{n}\\dfrac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\n", "$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "779960b8", "metadata": {}, "source": [ "